Title: Mathématiques-PTSI / Systèmes linéaires

Q: [latex] Système homogène [/latex]
A: [latex] Les membres de droite n'est égalité sont égaux à $0$.
$(S_H): \left\lbrace \begin{array}{ccccccccc}
            a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\cdots&+&a_{1p}x_p&=&0\\
            a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\cdots&+&a_{2p}x_p&=&0\\
             &&&& \cdots& \\
            a_{n1}x_1&+&a_{n2}x_2&+&\cdots&+&a_{np}x_p&=&0
        \end{array}
        \right. $
 [/latex]

Q: [latex] Structure des solutions du système homogène [/latex]
A: [latex] $Sol_H$ contient toujours l'élément $(0, \cdots, 0)$. S'il n'est pas réduit à cet élément, alors il est infini.[/latex]

Q: [latex] Structure de l'ensemble des solutions d'un système linéaire.[/latex]
A: [latex] L'ensemble $Sol$ est
\begin{itemize}
\item soit vide (si on n'a pas trouvé de solution particulière);
\item soit non vide, et dans ce cas, si $X=(x_1, \cdots, x_p)$ est un élément de $Sol$, alors $Sol=\{X+X_H, \, X_H\in Sol_H\}$.
\end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Définition d'un système de Cramer[/latex]
A: [latex] Un système linéaire possédant une solution unique.[/latex]

Q: [latex] Opérations conservant l'ensemble des solutions d'un système [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item Pour $i\neq j$ dans $\llbracket 1,n \rrbracket$, échanger la $i$-ème ligne avec la $j$-ème ligne. On note $L_i\leftrightarrow L_j$.
\item Pour $i\in\llbracket 1,n \rrbracket $ et pour $\lambda\in \mathbb{K}\setminus \{0\}$, multiplier la $i$-ème ligne par $\lambda$. On note $L_i\leftarrow \lambda L_i$.
\item Pour $i\neq j$ dans $\llbracket 1,n \rrbracket$ et pour $\lambda\in \mathbb{K}\setminus \{0\}$, ajouter à la $i$-ème ligne la ligne $j$ multipliée par $\lambda$. On notes $L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j$
\end{itemize} [/latex]